શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc} 1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & 4 \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+4 \sin 2 x \end{array}\right]$ ના નિશ્ચાયકનું મહત્તમ મૂલ્ય શું છે?

જો $A=\begin{bmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ -1 & \sqrt{2} \end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,$C=ABA^T$ અને $X=A^T C^2 A$ હોય,તો $\operatorname{det}(X)$ ની કિંમત શોધો:

જો વિધેય $f:[a, b] \rightarrow \left[-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{2}\right]$ જે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin x & 1 \\ 1+\cos x & 1 & 1 \end{array} \right|$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને તે એક-એક અને વ્યાપ્ત હોય, તો:

ધારો કે $\quad P_1=I=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_2=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_3=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], \quad P_4=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right], \quad P_5=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right], \quad P_6=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ અને $X=\sum_{k=1}^6 P_k \left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right] P_k^{\top}$ જ્યાં $P_k^{\top}$ એ શ્રેણિક $P_k$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક દર્શાવે છે. તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $X - 30I$ એ વ્યસ્ત શ્રેણિક છે
$(2)$ $X$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $18$ છે
$(3)$ જો $X \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\alpha\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ હોય,તો $\alpha=30$
$(4)$ $X$ એ સંમિત શ્રેણિક છે

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. તો, સમીકરણ $\operatorname{det}(A - \lambda I_{3}) = 0$ (જ્યાં $I_{3}$ એ $3$ ક્રમનો એકમ શ્રેણિક છે) ના બીજ શોધો.

ધારો કે $B=\begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ અને $C=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \end{bmatrix}$. જો શ્રેણિક $A$ એવો હોય કે જેથી $BAC=I$ થાય,તો $A^{-1}=$