वक्र y=e^x पर स्थित एक बिंदु और वक्र y=log_e | vedclass

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Question

(B) वक्र $y=e^x$ और $y=\log_e x$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं,जिसका अर्थ है कि वे रेखा $y=x$ के सापेक्ष सममित हैं।माना $A$,$y=e^x$ पर एक बिंदु है जिसक

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$\sqrt{2}$

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(B) वक्र $y=e^x$ और $y=\log_e x$ एक-दूसरे के प्रतिलोम फलन हैं,जिसका अर्थ है कि वे रेखा $y=x$ के सापेक्ष सममित हैं।माना $A$,$y=e^x$ पर एक बिंदु है जिसके निर्देशांक $(h, e^h)$ हैं। बिंदु $A$ से रेखा $y=x$ (या $x-y=0$) की दूरी $AB = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|h-e^h|}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी जाती है।चूंकि वक्र $y=x$ के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए दोनों वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी $AC = 2AB$ होगी,जहाँ $B$,रेखा $y=x$ पर $A$ का प्रक्षेप है।$AB$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $f(h) = e^h - h$ को न्यूनतम करते हैं (क्योंकि सभी $h$ के लिए $e^h > h$ है)।$f'(h) = e^h - 1$। $f'(h) = 0$ रखने पर $e^h = 1$ प्राप्त होता है,अतः $h=0$ है।$h=0$ पर,न्यूनतम दूरी $AB = \frac{|0-e^0|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।अतः,वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी $AC = 2 	imes \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।

वक्र $y=e^x$ पर स्थित एक बिंदु और वक्र $y=\log_e x$ पर स्थित एक बिंदु के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

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