फलन f(x) = x^{10} + x^2 + frac{1}{x^{12}} + f | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x) = x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} + \frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ है।पद $x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}}$ के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर म

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$\frac{3\pi + 4}{\pi + 1}$

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(B) फलन $f(x) = x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} + \frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ है।पद $x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}}$ के लिए,हम समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं:$\frac{x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}}}{3} \geq \sqrt[3]{x^{10} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^{12}}} = \sqrt[3]{1} = 1$.अतः,$x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} \geq 3$। समानता तब होती है जब $x^{10} = x^2 = \frac{1}{x^{12}}$,जिसका अर्थ है $x^2 = 1$,यानी $x = 1$ या $x = -1$।अब $\sec^{-1} x$ का प्रांत $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ है।$f(x)$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें पद $\frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ को न्यूनतम करना होगा।यदि $x = 1$,तो $\sec^{-1}(1) = 0$,इसलिए पद $\frac{1}{1+0} = 1$ है।यदि $x = -1$,तो $\sec^{-1}(-1) = \pi$,इसलिए पद $\frac{1}{1+\pi}$ है।चूंकि $\frac{1}{1+\pi} अतः,$f(-1) = 3 + \frac{1}{1+\pi} = \frac{3(1+\pi) + 1}{1+\pi} = \frac{3\pi + 4}{\pi + 1}$।

फलन $f(x) = x^{10} + x^2 + \frac{1}{x^{12}} + \frac{1}{1 + \sec^{-1} x}$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर प्राप्त होता है।

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