$x + y \geq 5$,$0 \leq x \leq 4$,$y \geq 2$ के अधीन $Z = 5x + 8y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए:

नीचे दी गई आकृति में छायांकित क्षेत्र एक निश्चित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए समाधान सेट है। तो रैखिक बाधाएं निम्न द्वारा दी गई हैं:

एक फैक्ट्री टेनिस रैकेट और क्रिकेट बैट बनाती है। एक टेनिस रैकेट बनाने में $1.5 \text{ घंटे}$ मशीन का समय और $3 \text{ घंटे}$ कारीगर का समय लगता है,जबकि एक क्रिकेट बैट बनाने में $3 \text{ घंटे}$ मशीन का समय और $1 \text{ घंटा}$ कारीगर का समय लगता है। एक दिन में,फैक्ट्री के पास $42 \text{ घंटे}$ से अधिक मशीन का समय और $24 \text{ घंटे}$ से अधिक कारीगर का समय उपलब्ध नहीं है। यदि एक रैकेट और एक बैट पर लाभ क्रमशः $Rs. 20$ और $Rs. 10$ है,तो फैक्ट्री की पूर्ण क्षमता पर काम करने पर अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।

दो प्रकार के उर्वरक $F_{1}$ और $F_{2}$ हैं। $F_{1}$ में $10\%$ नाइट्रोजन और $6\%$ फॉस्फोरिक एसिड है और $F_{2}$ में $5\%$ नाइट्रोजन और $10\%$ फॉस्फोरिक एसिड है। मिट्टी की स्थिति का परीक्षण करने के बाद,एक किसान को पता चलता है कि उसे अपनी फसल के लिए कम से कम $14\,kg$ नाइट्रोजन और $14\,kg$ फॉस्फोरिक एसिड की आवश्यकता है। यदि $F_{1}$ की कीमत $Rs\,6/kg$ और $F_{2}$ की कीमत $Rs\,5/kg$ है,तो निर्धारित करें कि प्रत्येक प्रकार के उर्वरक का कितना उपयोग किया जाना चाहिए ताकि पोषक तत्वों की आवश्यकताएं न्यूनतम लागत पर पूरी हो सकें। न्यूनतम लागत क्या है?

दो गोदामों $A$ और $B$ की अनाज भंडारण क्षमता क्रमशः $100$ क्विंटल और $50$ क्विंटल है। वे $3$ राशन दुकानों $D, E$ और $F$ को आपूर्ति करते हैं,जिनकी आवश्यकता क्रमशः $60, 50$ और $40$ क्विंटल है। गोदामों से दुकानों तक प्रति क्विंटल परिवहन लागत निम्नलिखित तालिका में दी गई है:

प्रति क्विंटल परिवहन लागत (रुपये में)
से/तक $A$ $B$
$D$ $6$ $4$
$E$ $3$ $2$
$F$ $2.50$ $3$

परिवहन लागत को न्यूनतम रखने के लिए आपूर्ति कैसे की जानी चाहिए? न्यूनतम लागत क्या है?

उद्देश्य फलन $Z = 3x + 5y$ का अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए, जो प्रतिबंधों $x + 3y \leq 60$, $x + y \geq 10$, $x - y \leq 0$ और $x, y \geq 0$ के अधीन है।