परवलय y^2 = 4ax के तीन बिंदुओं P, Q, R पर अभि | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ के किसी भी अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^{3}$ है।यदि यह $(h, k)$ से गुजरता है,तो $k=mh-2am-am^{3}$,या $am^{3}+(2a-h)m+k=0$ होगा।

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$y = 0$

Vedclass · Answer

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ के किसी भी अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^{3}$ है।यदि यह $(h, k)$ से गुजरता है,तो $k=mh-2am-am^{3}$,या $am^{3}+(2a-h)m+k=0$ होगा।यह $m$ में एक त्रिघात समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ हैं।तब $m_{1}+m_{2}+m_{3}=0$ और $m_{1}m_{2}+m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1}=\frac{2a-h}{a}$ होगा।तीनों अभिलंबों के पाद $P, Q, R$ के निर्देशांक $(am_{1}^{2}, -2am_{1}), (am_{2}^{2}, -2am_{2}), (am_{3}^{2}, -2am_{3})$ हैं।मान लीजिए $G(\bar{x}, \bar{y})$ त्रिभुज $\Delta PQR$ का केंद्रक है।तब $\bar{x} = \frac{a(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2})}{3} = \frac{a}{3}[(m_{1}+m_{2}+m_{3})^{2}-2(m_{1}m_{2}+m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1})] = \frac{a}{3}[0 - 2(\frac{2a-h}{a})] = \frac{2}{3}(h-2a)$ होगा।और $\bar{y} = \frac{-2a(m_{1}+m_{2}+m_{3})}{3} = -\frac{2a}{3}(0) = 0$ होगा।अतः,$\Delta PQR$ का केंद्रक $G(\frac{2}{3}(h-2a), 0)$ है,जो रेखा $y=0$ पर स्थित है।

परवलय $y^2 = 4ax$ के तीन बिंदुओं $P, Q, R$ पर अभिलंब $(h, k)$ पर मिलते हैं। त्रिभुज $PQR$ का केंद्रक किस पर स्थित है?

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