$5$ અંકની એવી કેટલી સંખ્યાઓ છે જે $5$ વડે વિભાજ્ય નથી અને જેમાં અલગ-અલગ એકી અંકોનો ઉપયોગ થયો છે?

$1, 2, 3$ અને $4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી સાત અંકની એવી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કેટલી છે કે જેના અંકોનો સરવાળો $12$ થાય?

જ્યારે $1! + 2! + 3! + \ldots + 11!$ ને $12$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$I$. $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $286$ છે.
$II$. જો $25! = 10^n \times k, (k \in N)$ હોય, તો $n=6$.
નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ગણ $A = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ ધ્યાનમાં લો. $A$ માંથી ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $9$ વડે વિભાજ્ય હોય.

જુદા જુદા કદના $10$ લાલ અને $5$ પીળા ગુલાબ છે. જો $x$ એ આ બધા ફૂલોથી બનાવી શકાય તેવી માળાઓની સંખ્યા છે જેથી કોઈ પણ બે પીળા ગુલાબ સાથે ન આવે અને $y$ એ આ બધા ફૂલોથી બનેલી માળાઓની સંખ્યા છે જેથી બધા લાલ ગુલાબ સાથે આવે,તો $\frac{2(x-y)}{10!}=$