$5$ अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य नहीं हैं और जिनमें अलग-अलग विषम अंकों का उपयोग किया गया है?

"$INTERMEDIATE$" शब्द के अक्षरों से ऐसे कितने अलग शब्द बनाए जा सकते हैं कि दो स्वर कभी भी एक साथ न आएं?

मान लीजिए $x$ और $y$ भिन्न पूर्णांक हैं जहाँ $1 \leq x \leq 25$ और $1 \leq y \leq 25$ है। तो,$x$ और $y$ को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि $x + y$,$5$ से विभाज्य हो $.........$.

मान लीजिए $P_m$,$^nP_m$ को दर्शाता है। तो व्यंजक $1 \cdot P_1 + 2 \cdot P_2 + 3 \cdot P_3 + \dots + n \cdot P_n =$

यदि $S_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ और $T_n = \sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ है,तो $\frac{T_n}{S_n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(n + 1)$ सफेद और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,जिनमें प्रत्येक सेट को $1$ से $n + 1$ तक क्रमांकित किया गया है। गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो आसन्न गेंदें एक ही रंग की न हों।