मान लीजिए $P_m$,$^nP_m$ को दर्शाता है। तो व्यंजक $1 \cdot P_1 + 2 \cdot P_2 + 3 \cdot P_3 + \dots + n \cdot P_n =$

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

समूह $A$ में $7$ लड़के और $3$ लड़कियाँ हैं,जबकि समूह $B$ में $6$ लड़के और $5$ लड़कियाँ हैं। यदि $5$ विद्यार्थियों को समूह $A$ से और शेष $3$ विद्यार्थियों को समूह $B$ से चुना जाना है,तो कुल $4$ लड़कों और $4$ लड़कियों को पिकनिक के लिए आमंत्रित करने के तरीकों की संख्या क्या होगी?

शब्द $\text{MATHS}$ के अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $6$-अक्षरों वाले शब्दों (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) की संख्या ज्ञात कीजिए,जिसमें प्रयुक्त प्रत्येक अक्षर कम से कम दो बार आए।

$(n + 1)$ सफेद और $(n + 1)$ काली गेंदें हैं,जिनमें प्रत्येक सेट को $1$ से $n + 1$ तक क्रमांकित किया गया है। गेंदों को एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी दो आसन्न गेंदें एक ही रंग की न हों।

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करके ऐसी कितनी $4$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिनमें अंक $1$ शामिल हो?