ગણ $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ ના ઘટકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા $3 \times 2$ શ્રેણિકો $A$ ની સંખ્યા શોધો, જેથી $A^{T}A$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો $5$ થાય.

ધારો કે $m$ અને $M$ એ $\left|\begin{array}{ccc}\cos ^{2} x & 1+\sin ^{2} x & \sin 2 x \\ 1+\cos ^{2} x & \sin ^{2} x & \sin 2 x \\ \cos ^{2} x & \sin ^{2} x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$ ની અનુક્રમે ન્યૂનતમ અને મહત્તમ કિંમતો છે. તો ક્રમયુક્ત જોડ $(m, M)$ બરાબર શું થાય?

ધારો કે $A$ એ $3 \times 3$ નો વાસ્તવિક શ્રેણિક છે જેથી $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$,જ્યાં $I$ અને $O$ અનુક્રમે એકમ અને શૂન્ય શ્રેણિક છે. જો $A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ હોય,જ્યાં $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ વાસ્તવિક અચળાંકો છે,તો $\alpha + \beta + \gamma$ ની કિંમત શોધો:

જો $B$ એ $3 \times 3$ શ્રેણિક હોય કે જેથી $B^2 = 0$ થાય,તો $\det[(I + B)^{50} - 50B]$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a^2 - (b - c)^2 & bc \\ b^2 & b^2 - (c - a)^2 & ca \\ c^2 & c^2 - (a - b)^2 & ab \end{array} \right|$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ \alpha & \beta \end{bmatrix}$. જો $A^2 + \gamma A + 18I = O$ હોય,તો $\operatorname{det}(A)$ ની કિંમત શોધો.