समीकरण x^{11}-x^7+x^4-1=0 के भिन्न हलों की सं | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ है। व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$ $(x^4-1)(x^7+1) = 0$. स्थिति $(i)$: $x^4-1=0 \impl

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$10$

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(C) दिया गया समीकरण $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ है। व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$ $(x^4-1)(x^7+1) = 0$. स्थिति $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^4=1$. मूल $k=0, 1, 2, 3$ के लिए $x = e^{i(2k\pi/4)}$ हैं। ये $1, i, -1, -i$ हैं। कुल $4$ भिन्न मूल हैं। स्थिति $(ii)$: $x^7+1=0 \implies x^7=-1$. मूल $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ के लिए $x = e^{i((2k+1)\pi/7)}$ हैं। कुल $7$ भिन्न मूल हैं। कुल भिन्न हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,उभयनिष्ठ मूलों की जाँच करते हैं: यदि $x^4=1$ और $x^7=-1$ है,तो $|x|=1$ होगा। यदि $x$ एक उभयनिष्ठ मूल है,तो $x^4=1$ और $x^7=-1$ होगा। तब $x^8 = (x^4)^2 = 1^2 = 1$. चूँकि $x^8 = x^7 \cdot x = 1$,हमारे पास $(-1) \cdot x = 1$ है,इसलिए $x = -1$। जाँचें कि क्या $x = -1$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है: $(-1)^4 = 1$ (सत्य) और $(-1)^7 = -1$ (सत्य)। अतः,$x = -1$ एकमात्र उभयनिष्ठ मूल है। कुल भिन्न हल = ($x^4-1=0$ के मूलों की संख्या) + ($x^7+1=0$ के मूलों की संख्या) - (उभयनिष्ठ मूलों की संख्या) कुल = $4 + 7 - 1 = 10$.

समीकरण $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ के भिन्न हलों की संख्या है

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