સમીકરણ x^{11}-x^7+x^4-1=0 ના ભિન્ન ઉકેલોની સં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે. પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$ $(x^4-1)(x^7+1) = 0$. કિસ્સો $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^

Vedclass · Accepted Answer

$10$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે. પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$ $(x^4-1)(x^7+1) = 0$. કિસ્સો $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^4=1$. બીજ $k=0, 1, 2, 3$ માટે $x = e^{i(2k\pi/4)}$ છે. આ $1, i, -1, -i$ છે. કુલ $4$ ભિન્ન બીજ છે. કિસ્સો $(ii)$: $x^7+1=0 \implies x^7=-1$. બીજ $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે $x = e^{i((2k+1)\pi/7)}$ છે. કુલ $7$ ભિન્ન બીજ છે. કુલ ભિન્ન ઉકેલો શોધવા માટે,સામાન્ય બીજ તપાસીએ: જો $x^4=1$ અને $x^7=-1$ હોય,તો $|x|=1$ થાય. જો $x$ સામાન્ય બીજ હોય,તો $x^4=1$ અને $x^7=-1$. તેથી $x^8 = (x^4)^2 = 1^2 = 1$. $x^8 = x^7 \cdot x = 1$ હોવાથી,$(-1) \cdot x = 1$,એટલે કે $x = -1$. ચકાસો કે $x = -1$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે: $(-1)^4 = 1$ (સાચું) અને $(-1)^7 = -1$ (સાચું). તેથી,$x = -1$ એ એકમાત્ર સામાન્ય બીજ છે. કુલ ભિન્ન ઉકેલો = ($x^4-1=0$ ના બીજની સંખ્યા) + ($x^7+1=0$ ના બીજની સંખ્યા) - (સામાન્ય બીજની સંખ્યા) કુલ = $4 + 7 - 1 = 10$.

સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ ના ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

$1+i\sqrt{3}$ ના ભિન્ન $(2n)^{\text{th}}$ મૂળનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

જો $1, \omega, \omega^{2}$ એ એકમના ત્રણ ઘનમૂળ હોય,તો $(1-\omega+\omega^{2})(1+\omega-\omega^{2})$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2+2x+2=0$ ના બીજ હોય,તો $\alpha^{15}+\beta^{15}=$

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ હોય,$k$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય અને $(1-\omega+\omega^2)^{3k} + (1-\omega^2+\omega)^{3k} = (1-\omega+\omega^2)^{3k+1} + (1+\omega-\omega^2)^{3k+1}$ હોય,તો $k=$

$\sum_{k=1}^6 \left[ \sin \frac{2 k \pi}{7} - i \cos \frac{2 k \pi}{7} \right]$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module