अंतराल $[1, 2014]$ में उन पूर्णांकों $a$ की संख्या क्या है जिनके लिए समीकरण निकाय $x+y=a$ और $\frac{x^2}{x-1}+\frac{y^2}{y-1}=4$ के सीमित हल हैं?

$p$ और $q$ समीकरण $x^2+7x+3=0$ के दो मूल हैं। यदि $\frac{3p}{1-2p}$ और $\frac{3q}{1-2q}$ समीकरण $lx^2+mx+n=0$ के मूल हैं और $l, m, n$ का महत्तम समापवर्तक $1$ है,तो $l-m+n=$

$x \ge 1$ के लिए $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए,यदि $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2} \notin(a, b]$ है,तो $x$ का वह मान जिसके लिए $\frac{11 x^2+12 x+6}{x^2+4 x+2}=b-a+3$ है,होगा

मान लीजिए $[r]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $r$ से अधिक नहीं है। समीकरण $3 x^2 + 6 x + 5 + \alpha (x^2 + 2 x + 2) = 0$ के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं जब भी $\alpha > L$ या $\alpha < M$ हो। यदि $(L - M)$ न्यूनतम है,तो $[r]$ का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए ताकि सभी $y \in R$ के लिए $L y^2 + M y + r < 0$ हो।

मान लीजिए कि $\tan A$ और $\tan B$, जहाँ $A, B \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, द्विघात समीकरण $x^2 - 2x - 5 = 0$ के मूल हैं। तो $20 \sin^2(\frac{A+B}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए: