अंतराल $[0, \pi]$ में समीकरण $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$ के मूलों की संख्या कितनी है?

मान लीजिए $PQR$ एक त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल $\Delta$ है,जहाँ $a=2, b=\frac{7}{2}$ और $c=\frac{5}{2}$ है,जहाँ $a, b$ और $c$ क्रमशः $P, Q$ और $R$ कोणों के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। तो $\frac{2 \sin P-\sin 2P}{2 \sin P+\sin 2P}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,तो सामान्य संकेतों के साथ,$a \cos ^2 \frac{C}{2} + c \cos ^2 \frac{A}{2}$ का मान क्या है?

यदि त्रिभुज $ABC$ में,$a\cos^2\frac{C}{2} + c\cos^2\frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$ है,तो इसकी भुजाएँ किसमें होंगी?

त्रिभुज $ABC$ में,कोण $A$,कोण $B$ से बड़ा है। यदि कोण $A$ और $B$ के माप समीकरण $3\sin x - 4\sin^3 x - k = 0$ को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $0 < k < 1$,तो कोण $C$ का माप क्या है?

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए (यहाँ $\Delta$,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल दर्शाता है।)

List-$I$	List-$II$
$(A)$ $\sum \cot A$	$(i)$ $\frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$
$(B)$ $\sum \cot \frac{A}{2}$	$(ii)$ $\frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$
$(C)$ यदि $\tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3$,तो $\sin A : \sin B : \sin C =$	$(iii)$ $8 : 6 : 5$
$(D)$ यदि $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$,तो $a : b : c =$	$(iv)$ $12 : 5 : 13$
	$(v)$ $\sqrt{5} : 2\sqrt{2} : 3$
	$(vi)$ $4\Delta$

तो सही मिलान है