ત્રણ અંકની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં $9$ માત્ર એક જ સ્થાન પર આવતો હોય,તેની સંખ્યા કેટલી છે?

માત્ર $1, 2$ અને $3$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંકોનો સરવાળો $10$ થાય તેવી કુલ $7$ અંકોની સંખ્યાઓ કેટલી બને?

ધારો કે $a_1, a_2, \ldots, a_n$ એ $n$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેમાંથી $p$ ધન છે અને બાકીની ઋણ છે. $j < k$ હોય તેવી ક્રમિત જોડીઓ $(j, k)$ ની સંખ્યા,જેના માટે $a_j a_k$ ધન હોય,તે $55$ છે. તેવી જ રીતે,$j < k$ હોય તેવી ક્રમિત જોડીઓ $(j, k)$ ની સંખ્યા,જેના માટે $a_j a_k$ ઋણ હોય,તે $50$ છે. તો,$p^2 + (n-p)^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

$1012$ અને $23421$ ની વચ્ચે આવતી એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જે $2, 3, 4, 5, 6$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય (અંકોનું પુનરાવર્તન માન્ય નથી) અને તે $55$ વડે વિભાજ્ય હોય?

ગણ $A = \{1, 2, 3, \ldots, 30\}$ ધ્યાનમાં લો. $A$ માંથી ત્રણ ભિન્ન સંખ્યાઓ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી પસંદ કરેલી સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $9$ વડે વિભાજ્ય હોય.

એક પુરુષ $X$ ને $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે. તેની પત્ની $Y$ ને પણ $7$ મિત્રો છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. ધારો કે $X$ અને $Y$ ના કોઈ સામાન્ય મિત્રો નથી. તો $X$ અને $Y$ સાથે મળીને $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને પાર્ટીમાં આમંત્રિત કરે,જેથી $X$ અને $Y$ દરેકના $3$ મિત્રો આ પાર્ટીમાં હોય,તેવા કુલ કેટલા પ્રકાર છે: