फलन $f(x) = \sin(2 \pi x)$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के निष्कर्ष को संतुष्ट करने वाले $C$ के मानों की संख्या है:

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर संतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ सभी $x \in (1,3)$ के लिए है। तो:

अंतराल $[-2, 2]$ में वक्र $y = x^3$ के बिंदुओं का भुज (abscissa),जहाँ स्पर्श रेखा की ढाल माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार अंतराल $[-2, 2]$ के लिए छेदक रेखा की ढाल के बराबर है,ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $f(x)$ एक गैर-स्थिर दो बार अवकलनीय फलन है जो $(-\infty, \infty)$ पर परिभाषित है,इस प्रकार कि $f(x)=f(1-x)$ और $f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=0$ है। तब
$(A)$ $f^{\prime \prime}(x)$ अंतराल $[0,1]$ पर कम से कम दो बार शून्य होता है
$(B)$ $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0$
$(C)$ $\int_{-1 / 2}^{1 / 2} f\left(x+\frac{1}{2}\right) \sin x d x=0$
$(D)$ $\int_0^{1 / 2} f(t) e^{\sin \pi t} d t=\int_{1 / 2}^1 f(1-t) e^{\sin \pi t} d t$

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है

यदि $f$ को $[1,3]$ में $f(x)=x^3+b x^2+a x$ द्वारा परिभाषित किया गया है,इस प्रकार कि $f(1)-f(3)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$,जहाँ $c=2+\frac{1}{\sqrt{3}}$,तो $(a, b)$ किसके बराबर है?