मान लीजिए f:[1,3] rightarrow R अंतराल [1,3] प | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x) = [f(x)]^2 + 4$. चूँकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर संतत है और $(1, 3)$ पर अवकलनीय है, माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theore

Vedclass · Accepted Answer

$f(3)-f(1)=5$ सत्य नहीं है

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है $f^{\prime}(x) = [f(x)]^2 + 4$. चूँकि $f(x)$ अंतराल $[1, 3]$ पर संतत है और $(1, 3)$ पर अवकलनीय है, माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार, एक ऐसा $c \in (1, 3)$ विद्यमान है जिसके लिए $f^{\prime}(c) = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{f(3)-f(1)}{2}$ है। इसे दिए गए अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{f(3)-f(1)}{2} = [f(c)]^2 + 4$. इससे $f(3)-f(1) = 2[f(c)]^2 + 8$ प्राप्त होता है। चूँकि $[f(c)]^2 \ge 0$, इसलिए $f(3)-f(1) \ge 8$. अतः, $f(3)-f(1)=5$ सत्य नहीं हो सकता है।

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ अंतराल $[1,3]$ पर संतत है और $(1,3)$ में अवकलनीय है, जहाँ $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2+4$ सभी $x \in (1,3)$ के लिए है। तो:

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