समीकरण $2\sin^2 \theta = 4 + 3\cos \theta$ को $[0, 2\pi]$ में संतुष्ट करने वाले $\theta$ के मानों की संख्या है

मान लीजिए $S = \{\theta \in (-2\pi, 2\pi) : \cos\theta + 1 = \sqrt{3} \sin\theta\}$ है। तो $\sum_{\theta \in S} \theta$ का मान ज्ञात कीजिए:

समीकरण $(\sqrt{3}-1) \sin \theta+(\sqrt{3}+1) \cos \theta=2$ का हल समुच्चय क्या है?

निम्नलिखित सूचियों पर विचार करें:

$List-I$	$List-II$
$(I)$ $\{x \in[-\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}]: \cos x+\sin x=1\}$	$(P)$ दो अवयव हैं
$(II)$ $\{x \in[-\frac{5 \pi}{18}, \frac{5 \pi}{18}]: \sqrt{3} \tan 3 x=1\}$	$(Q)$ तीन अवयव हैं
$(III)$ $\{x \in[-\frac{6 \pi}{5}, \frac{6 \pi}{5}]: 2 \cos (2 x)=\sqrt{3}\}$	$(R)$ चार अवयव हैं
$(IV)$ $\{x \in[-\frac{7 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}]: \sin x-\cos x=1\}$	$(S)$ पांच अवयव हैं
	$(T)$ छह अवयव हैं

सही विकल्प है:

यदि $m$ और $n$ क्रमशः अंतराल $[-\pi, \pi]$ में $\theta$ के धनात्मक और ऋणात्मक मानों की संख्या हैं जो समीकरण $\cos 2 \theta \cos \frac{\theta}{2} = \cos 3 \theta \cos \frac{9 \theta}{2}$ को संतुष्ट करते हैं,तो $mn$ का मान $.............$ है।

यदि $\cot \frac{x}{2} - \operatorname{cosec} \frac{x}{2} = \cot x$ है,तो $x$ के मान क्या हैं?