$|z - (4 + 8i)| = \sqrt{10}$ और $|z - (3 + 5i)| + |z - (5 + 11i)| = 4\sqrt{5}$ समीकरणों को संतुष्ट करने वाले $z \in \mathbb{C}$ के मानों की संख्या क्या है?

मान लीजिए $z_{1}$ और $z_{2}$ समीकरण $z^{2} + az + 12 = 0$ के मूल हैं। यदि $z_{1}$,$z_{2}$ और मूल बिंदु सम्मिश्र तल में एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,तो $|a|$ का मान क्या है?

यदि $|z - 3i| \le 5$ है,तो $|z + 2|$ का न्यूनतम मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। मान लीजिए $z_1 = 1 + 2i$ और $z_2 = 3i$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। मान लीजिए $S = \{(x, y) \in R \times R : |x + iy - z_1| = 2|x + iy - z_2|\}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) S$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$ है।
$(B) S$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right)$ है।
$(C) S$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $\frac{\sqrt{2}}{3}$ है।
$(D) S$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।

यदि $a$ एक सम्मिश्र संख्या है और $b$ एक वास्तविक संख्या है,तो समीकरण $\bar{a}+a+b=0$ $a$ को क्या दर्शाता है?

मान लीजिए $S=S_1 \cap S_2 \cap S_3$,जहाँ $S_1=\{z \in \mathbb{C}:|z|<4\}$,$S_2=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}[\frac{z-1+\sqrt{3} i}{1-\sqrt{3} i}]>0\}$,और $S_3=\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Re} z>0\}$.
$1.$ $S$ का क्षेत्रफल $=$
$(A) \frac{10 \pi}{3} \quad (B) \frac{20 \pi}{3} \quad (C) \frac{16 \pi}{3} \quad (D) \frac{32 \pi}{3}$
$2.$ $\min _{z \in S}|1-3 i-z|=$
$(A) \frac{2-\sqrt{3}}{2} \quad (B) \frac{2+\sqrt{3}}{2} \quad (C) \frac{3-\sqrt{3}}{2} \quad (D) \frac{3+\sqrt{3}}{2}$