$c$ के कितने मानों के लिए सरल रेखा $y = 4x + c$ वक्र $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ को स्पर्श करती है?

यदि $OT$ एक दीर्घवृत्त का अर्ध-लघु अक्ष है,$A$ और $B$ इसकी नाभियाँ हैं और $\angle ATB$ एक समकोण है,तो उस दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता क्या है?

$l$ लंबाई की एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार और कमरे के फर्श के सहारे टिकी हुई है। मान लीजिए $P$ सीढ़ी पर स्थित एक बिंदु है,जो दीवार पर स्थित उसके सिरे के करीब है और उसकी लंबाई को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। यदि सीढ़ी फर्श पर फिसलना शुरू करती है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या होगा?

मान लीजिए $f(x)=x^2+9$,$g(x)=\frac{x}{x-9}$,$a=f(g(10))$,और $b=g(f(3))$ है। यदि $e$ और $l$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1$ की उत्केंद्रता और नाभिलंब की लंबाई को दर्शाते हैं,तो $8e^2+l^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $x^2+2y^2=2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों पर कटे हुए भाग के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ है

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ के लिए,सूची-$I$ में दी गई रेखाओं को सूची-$II$ में दिए गए उनके समीकरणों के साथ सुमेलित कीजिए।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(P)$ नाभि $(-3, 0)$ के संगत नियता	$(1)$ $y = 4$
$(Q)$ शीर्ष $(0, 4)$ पर स्पर्श रेखा	$(2)$ $3x = 25$
$(R)$ $(3, 0)$ से गुजरने वाला नाभिलंब	$(3)$ $x = 3$
	$(4)$ $y + 4 = 0$
	$(5)$ $x + 3 = 0$
	$(6)$ $3x + 25 = 0$