$15$ ક્રમિક ક્રમાંકિત ટિકિટોમાંથી $3$ બાળકો $10$ ટિકિટો એવી રીતે વહેંચે છે કે જેથી તેમને $5$,$3$ અને $2$ ટિકિટોના ક્રમિક બ્લોક્સ મળે,તો તે કેટલી રીતે શક્ય છે?

ત્રણ શાળાઓ અનુક્રમે $2, 4$ અને $6$ વિદ્યાર્થીઓને સમર કેમ્પમાં મોકલે છે. $12$ વિદ્યાર્થીઓને $1, 2, 3, 4, 5, 6$ નંબરવાળા $6$ રૂમમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે દરેક રૂમમાં બરાબર $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને બંને એક જ શાળાના હોય. વિદ્યાર્થીઓને રૂમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક બોક્સમાં $5$ વાદળી, $6$ પીળા અને $4$ લાલ દડા છે. દરેક રંગના ઓછામાં ઓછા બે દડા હોય તે રીતે $8$ દડા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધોરણ $10$ માં $5$ વિદ્યાર્થીઓ,ધોરણ $11$ માં $6$ વિદ્યાર્થીઓ અને ધોરણ $12$ માં $8$ વિદ્યાર્થીઓ છે. જો તેમની પાસેથી $10$ વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવામાં આવે કે જેમાં દરેક ધોરણમાંથી ઓછામાં ઓછા $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને ધોરણ $10$ અને $11$ ના કુલ $11$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી વધુમાં વધુ $5$ વિદ્યાર્થીઓ હોય,તો તે રીતોની સંખ્યા $100k$ છે,તો $k$ ની કિંમત $......$ છે.

જો પાંચ અલગ-અલગ ધ્વજ ઉપલબ્ધ હોય,તો એક ઊભી લાકડી પર ક્રમમાં (એકની નીચે એક) ઓછામાં ઓછા $2$ ધ્વજ ગોઠવીને કેટલા અલગ-અલગ સંકેતો બનાવી શકાય?

ધારો કે $S_1 = \{(i, j, k) : i, j, k \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_2 = \{(i, j) : 1 \leq i < j + 2 \leq 10, i, j \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_3 = \{(i, j, k, l) : 1 \leq i < j < k < l, i, j, k, l \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_4 = \{(i, j, k, l) : i, j, k \text{ અને } l \text{ એ } \{1, 2, \ldots, 10\} \text{ માં ભિન્ન ઘટકો છે}\}$. જો ગણ $S_r$ માં ઘટકોની કુલ સંખ્યા $n_r$ હોય,જ્યાં $r = 1, 2, 3, 4$,તો નીચેનામાંથી કયા વિધાનો સાચા છે?
$(A) n_1 = 1000$
$(B) n_2 = 44$
$(C) n_3 = 220$
$(D) \frac{n_4}{12} = 420$