'$MATHEMATICS$' शब्द के चार अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

$1, 2, 3, 4,$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली चार अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें कम से कम दो अंक समान हों?

$4$ अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो $5$ से विभाज्य नहीं हैं?

मान लीजिए $n$ उन तरीकों की संख्या है जिनसे $5$ लड़के और $5$ लड़कियाँ एक पंक्ति में इस प्रकार खड़े हो सकते हैं कि सभी लड़कियाँ लगातार खड़ी हों। मान लीजिए $m$ उन तरीकों की संख्या है जिनसे $5$ लड़के और $5$ लड़कियाँ एक पंक्ति में इस प्रकार खड़े हो सकते हैं कि ठीक चार लड़कियाँ लगातार खड़ी हों। तो $\frac{m}{n}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$COMBINATION$ शब्द के अक्षरों में से दो समान और दो भिन्न अक्षरों को लेकर कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

यदि $a + b + c = 50$ और $a, b, c$ अऋणात्मक सम पूर्णांक हैं,तो $ab^2c$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।