$20$ लड़कों की कक्षा में निम्नलिखित पुरस्कार कितनी तरह से दिए जा सकते हैं: गणित में प्रथम और द्वितीय,भौतिकी में प्रथम और द्वितीय,रसायन विज्ञान में प्रथम और अंग्रेजी में प्रथम?

$P_1$ और $P_2$ दो अलग और प्रतिच्छेदी समतल हैं। तीन असंरेख बिंदु $P_1$ पर स्थित हैं और अन्य तीन असंरेख बिंदु $P_2$ पर स्थित हैं (कोई भी बिंदु समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा पर नहीं है)। तो इन छह बिंदुओं का उपयोग करके बनने वाले चतुष्फलकों (tetrahedrons) की अधिकतम संख्या है:

यदि $\sum_{i=0}^4 {^{4+i}}C_i + \sum_{j=6}^9 {^{3+j}}C_j = {^x}C_y$ ($x$ एक अभाज्य संख्या है),तो निम्नलिखित में से कौन सा गलत है?

यदि $^{n - 1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r + 1}$ है,तो $k \in$

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?

यदि सचिव को अध्यक्ष के एक तरफ और उप-सचिव को दूसरी तरफ बैठना हो,तो एक परिषद के $15$ सदस्य एक गोलाकार मेज के चारों ओर कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?