$ARRANGE$ શબ્દના અક્ષરોને કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય કે જેથી બંને $R$ સાથે ન આવે?

એક પરીક્ષામાં $6$ બહુવિકલ્પ પ્રશ્નો છે,જેમાંના દરેકના $4$ વૈકલ્પિક જવાબો છે જેમાંથી માત્ર એક જ સાચો છે. એક ઉમેદવાર તમામ છ પ્રશ્નોના જવાબ એવી રીતે આપે કે જેથી બરાબર ચાર જવાબો સાચા હોય,તો તે કેટલી રીતે શક્ય છે?

મૂળાક્ષરોના $6$ અલગ-અલગ અક્ષરો આપેલા છે. આ આપેલા અક્ષરોમાંથી $4$ અક્ષરોવાળા શબ્દો બનાવવામાં આવે છે. તો એવા શબ્દોની સંખ્યા જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અક્ષર પુનરાવર્તિત થાય અને કોઈ પણ બે સમાન અક્ષરો સાથે ન હોય,તે શોધો:

બે પરિવારો જેમાં દરેકના ત્રણ સભ્યો છે અને એક પરિવાર જેમાં ચાર સભ્યો છે,તેમને એક હરોળમાં બેસાડવાના છે. તેઓને કેટલી રીતે બેસાડી શકાય કે જેથી એક જ પરિવારના સભ્યો અલગ ન પડે?

એક પ્રશ્નપત્રમાં $2$ ભાગ છે,ભાગ $A$ અને ભાગ $B$,જેમાં દરેક ભાગમાં $10$ પ્રશ્નો છે. જો વિદ્યાર્થીએ ભાગ $A$ માંથી $8$ પ્રશ્નો અને ભાગ $B$ માંથી $5$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના હોય,તો તે કેટલી રીતે પ્રશ્નો પસંદ કરી શકે?

$^nC_r + ^{n-1}C_r + ...... + ^rC_r$ =