वास्तविक संख्याओं के युग्मों (a, b) की संख्या | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $x^{2}+ax+b=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।यदि $\alpha$ एक मूल है,तो $\alpha^{2}-2$ भी एक मूल होना चाहिए।स्थिति $1$: $\alpha = \beta$

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$6$

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(A) मान लीजिए $x^{2}+ax+b=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।यदि $\alpha$ एक मूल है,तो $\alpha^{2}-2$ भी एक मूल होना चाहिए।स्थिति $1$: $\alpha = \beta$. तब $\alpha = \alpha^{2}-2$,जिससे $\alpha^{2}-\alpha-2=0$,जो $\alpha=2$ या $\alpha=-1$ देता है।यदि $\alpha=2$,तो $x^{2}-4x+4=0$,अतः $(a, b) = (-4, 4)$।यदि $\alpha=-1$,तो $x^{2}+2x+1=0$,अतः $(a, b) = (2, 1)$।स्थिति $2$: $\alpha 
eq \beta$. मूलों का समुच्चय $S = \{\alpha, \beta\}$ को $f(x) = x^{2}-2$ द्वारा स्वयं पर मैप होना चाहिए।उपस्थिति $2.1$: $f(\alpha)=\alpha$ और $f(\beta)=\beta$. इससे $\alpha, \beta \in \{2, -1\}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\alpha 
eq \beta$,इसलिए $\{\alpha, \beta\} = \{2, -1\}$। तब $a = -(\alpha+\beta) = -1$ और $b = \alpha\beta = -2$। अतः $(a, b) = (-1, -2)$।उपस्थिति $2.2$: $f(\alpha)=\beta$ और $f(\beta)=\alpha$. तब $\alpha^{2}-2=\beta$ और $\beta^{2}-2=\alpha$। घटाने पर $\alpha^{2}-\beta^{2} = \beta-\alpha$ प्राप्त होता है,इसलिए $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+1)=0$। चूँकि $\alpha 
eq \beta$,इसलिए $\alpha+\beta = -1$। साथ ही $\alpha^{2}+\beta^{2}-4 = \alpha+\beta = -1$,इसलिए $(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = 3$,जो $1-2\alpha\beta=3$ देता है,इसलिए $\alpha\beta=-1$। इस प्रकार $a = -(\alpha+\beta) = 1$ और $b = \alpha\beta = -1$। अतः $(a, b) = (1, -1)$।उपस्थिति $2.3$: $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ (या $\beta$)। यदि $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ है,तो $\alpha^{2}-2=\alpha$ और $\beta^{2}-2=\alpha$। इसलिए $\alpha \in \{2, -1\}$। यदि $\alpha=2$,तो $\beta^{2}-2=2$ $\Rightarrow \beta^{2}=4$ $\Rightarrow \beta=-2$ (चूँकि $\beta 
eq \alpha$)। तब $a = -(2-2)=0$ और $b = 2(-2)=-4$। अतः $(a, b) = (0, -4)$। यदि $\alpha=-1$,तो $\beta^{2}-2=-1$ $\Rightarrow \beta^{2}=1$ $\Rightarrow \beta=1$ (चूँकि $\beta 
eq \alpha$)। तब $a = -(-1+1)=0$ और $b = -1(1)=-1$। अतः $(a, b) = (0, -1)$।ऐसे $6$ युग्म हैं: $(2, 1), (-4, 4), (-1, -2), (1, -1), (0, -4), (0, -1)$।

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