उन सभी परवलयों के अवकल समीकरण की कोटि क्या होगी,जिनका नाभिलंब $4a$ है और अक्ष $x$-अक्ष के समांतर है?

यदि वक्रों का कुल $y = a e^{4x} + b e^{-x}$, जहाँ $a, b$ स्वेच्छ अचर हैं, अवकल समीकरण $f(x, y, \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}) = 0$ का व्यापक हल निरूपित करता है, तो $\frac{df}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

उस अवकल समीकरण की कोटि क्या है जिसका व्यापक हल $y = (C_1 + C_2) \sin (x + C_3) - C_4 e^{x + C_5}$ द्वारा दिया गया है (जहाँ $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ स्वेच्छ अचर हैं)?

समीकरण $y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$ से $A$ और $B$ को विलुप्त करने पर प्राप्त अवकल समीकरण है

कथन $I$: $Y$-अक्ष पर केंद्र और $k$ निश्चित त्रिज्या वाले वृत्तों के परिवार के संगत अवकल समीकरण $(x^2-k^2)(\frac{dy}{dx})^2+x^2=0$ है।
कथन $II$: मूल बिंदु से गुजरने वाले और $X$-अक्ष पर केंद्र वाले वृत्तों के परिवार के संगत अवकल समीकरण $x^2-y^2+2xy \frac{dy}{dx}=0$ है।
उपरोक्त कथनों में से कौन सा (से) सत्य है/हैं?

माना $p \in \mathbb{R}$ है। तो वक्रों के कुल $y=(\alpha+\beta x) e^{p x}$ का अवकल समीकरण क्या होगा, जहाँ $\alpha$ और $\beta$ स्वेच्छ अचर हैं?