બિંદુઓ $(2,1,5)$,$(3,2,3)$ અને $(4,0,4)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર શોધો.

વિધાન $(A)$: રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ અને $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ માટે,જો $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) \neq 0$ હોય,તો બે રેખાઓ સમતલીય છે.
કારણ $(R)$: $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|$ એ રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a}+t\bar{b}$ અને $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર કરતાં $|\bar{b} \times \bar{q}|$ ગણું છે.

બિંદુ $P(1, 0, 3)$ માંથી બિંદુઓ $A(4, 7, 1)$ અને $B(3, 5, 3)$ ને જોડતી રેખા પર દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ શોધો.

જો રેખાઓ $\frac{x - 1}{k} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ અને $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 3}{k} = \frac{z - 1}{2}$ એકબીજાને છેદતી હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

$(3, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખાઓ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$ અને $\vec{r} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}) + \mu(\hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

એક લંબચોરસ સમાંતરબાજુ ફલકનો એક શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ $O$ પર છે અને $x, y$ અને $z$ અક્ષો પર તેની ધારની લંબાઈ અનુક્રમે $3, 4$ અને $5$ એકમ છે. ધારો કે $P$ એ શિરોબિંદુ $(3, 4, 5)$ છે. તો વિકર્ણ $OP$ અને $z$-અક્ષને સમાંતર ધાર,જે $O$ કે $P$ માંથી પસાર થતી નથી,તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?