સદિશ $a$ નો સદિશ $b$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ શું છે?

એક સદિશ $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$ (જ્યાં $\alpha, \beta \in R$) એ સદિશો $\overrightarrow{b} = \hat{i} + \hat{j}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$ ના સમતલમાં આવેલો છે. જો $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે,તો:

જો સદિશો $\hat{i}-2x\hat{j}-3y\hat{k}$ અને $\hat{i}+3x\hat{j}+2y\hat{k}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 3\bar{k}$, $\bar{b} = 2\bar{i} - 3\bar{j} + \bar{k}$, અને $\bar{c} = 3\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k}$ ત્રણ સદિશો છે. જો $\bar{r}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\bar{r} \cdot \bar{a} = 0$, $\bar{r} \cdot \bar{b} = -2$, અને $\bar{r} \cdot \bar{c} = 6$ થાય, તો $\bar{r} \cdot (3\bar{i} + \bar{j} + \bar{k})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overline{A}, \overline{B}, \overline{C}$ એ અનુક્રમે $3$ એકમ,$4$ એકમ અને $5$ એકમ લંબાઈના સદિશો છે. જો $\overline{A}$ એ $\overline{B}+\overline{C}$ ને લંબ હોય,$\overline{B}$ એ $\overline{C}+\overline{A}$ ને લંબ હોય અને $\overline{C}$ એ $\overline{A}+\overline{B}$ ને લંબ હોય,તો સદિશ $\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}$ ની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ બે એકમ સદિશો છે જેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે. જો $\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}$ અને $3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $[-1, 3]$ માં $\lambda$ ની કિંમતોની સંખ્યા કેટલી થાય?