परवलय y^2 = x वृत्त x^2 + y^2 = 2 को दो भागों | vedclass

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Question

(B) परवलय $y^2 = x$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y^2 = x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं: $x^2 + x - 2

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$9\pi - 2 : 3\pi + 2$

Vedclass · Answer

(B) परवलय $y^2 = x$ और वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y^2 = x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होते हैं: $x^2 + x - 2 = 0$,जो $(x+2)(x-1) = 0$ देता है। चूंकि $x \ge 0$,इसलिए $x = 1$ है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ और $(1, -1)$ हैं।वृत्त का कुल क्षेत्रफल $A_{total} = \pi r^2 = 2\pi$ है।परवलय और वृत्त द्वारा $y$-अक्ष के दाईं ओर घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल:$A_1 = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx$प्रथम समाकलन:$2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$.द्वितीय समाकलन:$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2 - x^2} + \frac{2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{2}}$$= 2 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)) \right]$$= 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right] = \frac{\pi}{2} - 1$.अतः,$A_1 = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{2} - 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3\pi + 2}{6}$.दूसरा क्षेत्रफल $A_2 = A_{total} - A_1 = 2\pi - \frac{3\pi + 2}{6} = \frac{12\pi - 3\pi - 2}{6} = \frac{9\pi - 2}{6}$.क्षेत्रफलों का अनुपात $A_2 : A_1 = \frac{9\pi - 2}{6} : \frac{3\pi + 2}{6} = 9\pi - 2 : 3\pi + 2$.

परवलय $y^2 = x$ वृत्त $x^2 + y^2 = 2$ को दो भागों में विभाजित करता है,जिनके क्षेत्रफलों का अनुपात है

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