પરવલય y^2 = x એ વર્તુળ x^2 + y^2 = 2 ને બે ભા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) પરવલય $y^2 = x$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ ના છેદબિંદુઓ $y^2 = x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા મળે છે: $x^2 + x - 2 = 0$,જે $(x+2)(x-1) = 0$ આપે છે

Vedclass · Accepted Answer

$9\pi - 2 : 3\pi + 2$

Vedclass · Answer

(B) પરવલય $y^2 = x$ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ ના છેદબિંદુઓ $y^2 = x$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા મળે છે: $x^2 + x - 2 = 0$,જે $(x+2)(x-1) = 0$ આપે છે. $x \ge 0$ હોવાથી,$x = 1$ મળે છે. આમ,છેદબિંદુઓ $(1, 1)$ અને $(1, -1)$ છે.વર્તુળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_{total} = \pi r^2 = 2\pi$ છે.પરવલય અને વર્તુળ દ્વારા ઘેરાયેલ $y$-અક્ષની જમણી બાજુના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ:$A_1 = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx + 2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx$પ્રથમ સંકલન:$2 \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{4}{3}$.બીજું સંકલન:$2 \int_{1}^{\sqrt{2}} \sqrt{2 - x^2} \, dx = 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{2 - x^2} + \frac{2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \right]_{1}^{\sqrt{2}}$$= 2 \left[ (0 + \sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2} \sqrt{1} + \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)) \right]$$= 2 \left[ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} \right] = 2 \left[ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \right] = \frac{\pi}{2} - 1$.તેથી,$A_1 = \frac{4}{3} + \frac{\pi}{2} - 1 = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3\pi + 2}{6}$.બીજું ક્ષેત્રફળ $A_2 = A_{total} - A_1 = 2\pi - \frac{3\pi + 2}{6} = \frac{12\pi - 3\pi - 2}{6} = \frac{9\pi - 2}{6}$.ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_2 : A_1 = \frac{9\pi - 2}{6} : \frac{3\pi + 2}{6} = 9\pi - 2 : 3\pi + 2$.

પરવલય $y^2 = x$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ ને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે,જેમના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.

Similar Questions

પ્રદેશ $\{(x, y) : x \geq 0, x+y \leq 3, x^2 \leq 4y \text{ અને } y \leq 1+\sqrt{x}\}$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

$y = x^2$ અને $y = |x|$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો પ્રદેશ $\{(x, y): |4-x^2| \leq y \leq x^2, y \leq 4, x \geq 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\left(\frac{80 \sqrt{2}}{\alpha}-\beta\right)$ હોય,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત . . . . . . છે.

પ્રદેશ $R=\{(x,y):xy \le 8, 1 \le y \le x^{2}, x \ge 0\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module