જો વર્તુળ x^2+y^2=2 નું ક્ષેત્રફળ પરવલય y=x^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $x^2+y^2=2$ અને $y=x^2$ છે.છેદબિંદુ માટે,વર્તુળના સમીકરણમાં $x^2=y$ મૂકતા:$y+y^2=2 \Rightarrow y^2+y-2=0$$(y+2)(y-1)=0$કારણ ક

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \pi}{2}-\frac{1}{3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વક્રોના સમીકરણો $x^2+y^2=2$ અને $y=x^2$ છે.છેદબિંદુ માટે,વર્તુળના સમીકરણમાં $x^2=y$ મૂકતા:$y+y^2=2 \Rightarrow y^2+y-2=0$$(y+2)(y-1)=0$કારણ કે $y=x^2 \ge 0$,તેથી $y=1$. આમ,$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$.વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A_{circle} = \pi r^2 = 2\pi$ છે.નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{small}$ એ $x=-1$ થી $x=1$ વચ્ચે વર્તુળની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે:$A_{small} = \int_{-1}^{1} (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} dx - 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$સૂત્ર $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:$A_{small} = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} + \frac{2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})]_0^1 - 2[\frac{x^3}{3}]_0^1$$A_{small} = 2 [(\frac{1}{2}\sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) - 0] - \frac{2}{3} = 2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = 1 + \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$.મોટા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A_{large} = A_{circle} - A_{small} = 2\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{3}$ ચોરસ એકમ.આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

Similar Questions

$\{(x, y): y^2 \leq 2x\}$ અને $\{y \geq 4x - 1\}$ દ્વારા વર્ણવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

પરવલય $y^2 = 4x$ અને રેખા $2x + y - 4 = 0$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

$X$-અક્ષની ઉપર આવેલ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=2ax$ તથા પરવલય $y^{2}=ax$, $a>0$ વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો વક્રો $y = kx^2$ અને $x = ky^2$ $(k > 0)$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $1$ ચોરસ એકમ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

વક્ર $x^{2}=y$ અને રેખા $y=4x$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module