परवलय y^2=4x वृत्त x^2+y^2=5 के क्षेत्रफल को | vedclass

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Question

(A) $y^2=4x$ और $x^2+y^2=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2=4x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$x^2+4x-5=0$$(x+5)(x-1)=0$परवल

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$\frac{2}{3}+5 \sin ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$

Vedclass · Answer

(A) $y^2=4x$ और $x^2+y^2=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y^2=4x$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$x^2+4x-5=0$$(x+5)(x-1)=0$परवलय के लिए $x \ge 0$ होने के कारण,$x=1$ प्राप्त होता है,जिससे $y=\pm 2$ मिलता है।छोटे भाग का क्षेत्रफल परवलय और वृत्त द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है,जो $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।क्षेत्रफल $= 2 	imes \left[ \int_0^1 \sqrt{4x} \, dx + \int_1^{\sqrt{5}} \sqrt{5-x^2} \, dx ight]$$= 2 	imes \left[ \frac{4}{3} x^{3/2} \Big|_0^1 + \left( \frac{x}{2} \sqrt{5-x^2} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} ight) \Big|_1^{\sqrt{5}} ight]$$= 2 	imes \left[ \frac{4}{3} + \left( 0 + \frac{5}{2} \sin^{-1}(1) ight) - \left( \frac{1}{2} \sqrt{4} + \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} ight) ight]$$= 2 	imes \left[ \frac{4}{3} + \frac{5\pi}{4} - 1 - \frac{5}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} ight]$$= 2 	imes \left[ \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} ight) ight]$$= \frac{2}{3} + 5 \cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$चूंकि $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \sin^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}$,अतः क्षेत्रफल $\frac{2}{3} + 5 \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} ight)$ है।

परवलय $y^2=4x$ वृत्त $x^2+y^2=5$ के क्षेत्रफल को दो भागों में विभाजित करता है। छोटे भाग का क्षेत्रफल किसके बराबर है?

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