अवकल समीकरण x y frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2 का | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ है।$xy$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}

Vedclass · Accepted Answer

$x^2+y^2 = x^4$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ है।$xy$ से विभाजित करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2+2y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x} \dots(i)$यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। $y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots(ii)$$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v$.दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + v = \frac{1+v^2}{v}$.चरों को अलग करने पर,$\frac{v}{1+v^2} dv = \frac{1}{x} dx$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\frac{1}{2} \ln(1+v^2) = \ln|x| + C$.$2$ से गुणा करने पर,$\ln(1+v^2) = 2\ln|x| + 2C = \ln(x^2) + K$.अतः,$1+v^2 = c x^2$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,$1 + \frac{y^2}{x^2} = c x^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = c x^4$ बनता है।$y(1) = 0$ दिया गया है,इसलिए $1^2 + 0^2 = c(1)^4$,जिससे $c = 1$ प्राप्त होता है।अतः,विशिष्ट हल $x^2 + y^2 = x^4$ है।

अवकल समीकरण $x y \frac{dy}{dx} = x^2 + 2y^2$ का विशिष्ट हल,जब $y(1) = 0$ है,क्या होगा?

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