यदि frac{dy}{dx} = f(x, y) एक समघातीय अवकल सम | vedclass

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Question

(C) $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ के रूप वाले अवकल समीकरण को समघातीय अवकल समीकरण कहा जाता है यदि फलन $f(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो। परिभाषा के

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$\phi\left(\frac{y}{x}\right)$

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(C) $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ के रूप वाले अवकल समीकरण को समघातीय अवकल समीकरण कहा जाता है यदि फलन $f(x, y)$ शून्य घात का एक समघातीय फलन हो। परिभाषा के अनुसार,एक फलन $f(x, y)$ शून्य घात का समघातीय फलन है यदि $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^0 f(x, y) = f(x, y)$ हो। ऐसे फलन को हमेशा $f(x, y) = \phi\left(\frac{y}{x}\right)$ या $f(x, y) = \psi\left(\frac{x}{y}\right)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अतः,समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ के लिए $f(x, y)$ का सामान्य रूप $\phi\left(\frac{y}{x}\right)$ है।

यदि $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ एक समघातीय अवकल समीकरण (homogeneous differential equation) है,तो $f(x, y)$ का सामान्य रूप क्या है?

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प्रतिस्थापन $y = z^{\alpha}$ अवकल समीकरण $(x^2y^2 - 1)dy + 2xy^3dx = 0$ को एक समघातीय अवकल समीकरण में बदल देता है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

दी गई शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} + \csc\left(\frac{y}{x}\right) = 0$; जब $x = 1$ तब $y = 0$.

अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+7 y+3}{3 x+5 y+9}$ का व्यापक हल है

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