रेखा L: ell x-y+3(1-ell)z=1, x+2y-z=2 से गुजर | vedclass

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Question

(C) रेखा $L$ बनाने वाले समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = \ell \hat{i} - \hat{j} + 3(1-\ell) \hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k

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$125$

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(C) रेखा $L$ बनाने वाले समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_{1} = \ell \hat{i} - \hat{j} + 3(1-\ell) \hat{k}$ और $\vec{n}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ हैं।रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}_{1} 	imes \vec{n}_{2}$ द्वारा प्राप्त होता है:$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ \ell & -1 & 3(1-\ell) \ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (6\ell - 5) \hat{i} + (3 - 2\ell) \hat{j} + (2\ell + 1) \hat{k}$.समतल $3x - 8y + 7z = 4$ में रेखा $L$ स्थित है,इसलिए इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}_{3} = 3\hat{i} - 8\hat{j} + 7\hat{k}$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए।अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n}_{3} = 0$:$3(6\ell - 5) - 8(3 - 2\ell) + 7(2\ell + 1) = 0$$48\ell - 32 = 0 \implies \ell = \frac{2}{3}$.$\ell = \frac{2}{3}$ रखने पर,$\vec{v} = -1\hat{i} + \frac{5}{3}\hat{j} + \frac{7}{3}\hat{k}$.रेखा $L$ और $y$-अक्ष $(\hat{j})$ के बीच का कोण $	heta$ के लिए $\cos 	heta = \frac{|\vec{v} \cdot \hat{j}|}{|\vec{v}| |\hat{j}|}$.$|\vec{v}| = \sqrt{1 + \frac{25}{9} + \frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{83}}{3}$.$\cos 	heta = \frac{5/3}{\sqrt{83}/3} = \frac{5}{\sqrt{83}}$.अतः,$415 \cos^{2} 	heta = 415 	imes \frac{25}{83} = 125$.

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रेखा $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 5}{4}$ समतल $4x + 4y - kz - d = 0$ में स्थित है। $k$ और $d$ के मान हैं

बिंदु $P(3,4,4)$ की बिंदुओं $Q(3,-4,-5)$ और $R(2,-3,1)$ को जोड़ने वाली रेखा और समतल $2x+y+z=7$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी $.....$ है।

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