यादृच्छिक रूप से चुने गए एक वर्ष में $53$ सोमवार होने की प्रायिकता क्या है?

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(\bar{A})=\frac{2}{3}$, $P(B)=\frac{4}{15}$ और $P(A \cap \bar{B})=\frac{1}{5}$, तो $\sqrt{195[P(B \mid(A \cup \bar{B}))+P(A \cup B)]} = $

तीन घटनाओं $A, B$ और $C$ के लिए,$P(\text{केवल } A \text{ या } B \text{ घटित हो}) = P(\text{केवल } B \text{ या } C \text{ घटित हो}) = P(\text{केवल } C \text{ या } A \text{ घटित हो}) = \frac{1}{4}$ और $P(\text{तीनों घटनाएं एक साथ घटित हों}) = \frac{1}{16}$ है। तो कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता क्या है?

स्तंभ-$I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ-$II$ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ मूल बिंदु से जाने वाली एक रेखा,रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर मिलती है। यदि लंबाई $PQ=d$ है,तो $d^2$ है	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान हैं	$(q)$ $0$
$(C)$ शून्येतर सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समीकरणों $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ और $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ है,तो $\mu$ के संभावित मान हैं	$(r)$ $4$
$(D)$ मान लीजिए $f$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर एक फलन है,जहाँ $f(0)=9$ और $x \neq 0$ के लिए $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ है। $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ का मान है	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$

मान लीजिए कि $p$ उस प्रायिकता को दर्शाता है कि $x$ वर्ष की आयु का एक व्यक्ति एक वर्ष में मर जाएगा। $n$ पुरुषों $A_1, A_2, A_3, ..., A_n$ में से,जिनकी आयु $x$ है,इस बात की प्रायिकता क्या है कि $A_1$ एक वर्ष में मर जाएगा और वह सबसे पहले मरने वाला व्यक्ति होगा?

एक थैले में $7$ अलग-अलग काली गेंदें और $10$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं। यदि सभी काली गेंदें निकलने तक एक-एक करके गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं,तो इस प्रक्रिया के $12$ वें प्रयास में पूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?