ગોળાકાર ફુગ્ગાના ઘનફળમાં થતો ફેરફારનો દર કોઈપણ ક્ષણે તેની સપાટીના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા $3 \ cm$ હોય અને $2 \ \text{મિનિટ}$ પછી તેની ત્રિજ્યા $9 \ cm$ થાય,તો $4 \ \text{મિનિટ}$ પછી ફુગ્ગાની ત્રિજ્યા કેટલી હશે ($cm$ માં)?

$100^{\circ} C$ તાપમાન ધરાવતું પાણી $25^{\circ} C$ ના ઓરડાના તાપમાનમાં $15 \text{ મિનિટમાં}$ ઠંડું થઈને $75^{\circ} C$ થાય છે. તો $30 \text{ મિનિટ}$ પછી પાણીનું તાપમાન કેટલું હશે?

ધારો કે $\Gamma$ એ $y = y(x)$ વક્ર દર્શાવે છે જે પ્રથમ ચરણમાં છે અને બિંદુ $(1,0)$ તેના પર આવેલું છે. ધારો કે $P$ બિંદુએ $\Gamma$ નો સ્પર્શક $y$-અક્ષને $Y_p$ માં છેદે છે. જો $\Gamma$ પરના દરેક બિંદુ $P$ માટે $PY_p$ ની લંબાઈ $1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

સમીકરણ $\frac{x^2 d^2y}{dx^2} = \ln x$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 1$ હોય ત્યારે $y = 0$ અને $\frac{dy}{dx} = -1$ છે.

બેક્ટેરિયાના વૃદ્ધિનો દર હાજર સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. જો શરૂઆતમાં $1000$ બેક્ટેરિયા હોય અને $1$ કલાકમાં સંખ્યા બમણી થાય,તો $2 \frac{1}{2}$ કલાક પછી બેક્ટેરિયાની સંખ્યા કેટલી હશે? (આપેલ છે $\sqrt{2} = 1.414$)

જો કોઈ વક્રના $(x, y)$ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $3x^2 + 2x + 5$ હોય અને તે વક્ર $(0, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,તો તે વક્રનું સમીકરણ શોધો.