એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાના વિઘટનનો દર $R$ છે અને કોઈપણ સમયે $t$ પર હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે. જ્યારે $\frac{R}{N}$ ને $Y$-અક્ષ પર અને $t$ ને $X$-અક્ષ પર લેવામાં આવે,ત્યારે સાચો આલેખ કયો છે?

રેડિયમનું અર્ધ-આયુષ્ય $1620$ વર્ષ છે. $5 \, g$ રેડિયમમાં $5$ કલાકમાં કેટલા રેડિયમ ન્યુક્લિયસનું ક્ષય થાય છે? (રેડિયમનું પરમાણુ વજન $= 223$)

એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $4 \text{ days}$ માં તેના મૂળ મૂલ્યના $(1/4)$ ભાગની થઈ જાય છે. તો $16 \text{ days}$ માં તેની એક્ટિવિટી મૂળ મૂલ્યના $x$ ગણી થશે. $x$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિડનું અર્ધઆયુષ્ય $40 \, \text{hours}$ છે. $20 \, \text{hours}$ પછી ક્ષય પામેલા પદાર્થનો અંશ શોધો.

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y} (1 \pm \frac{\Delta x}{x}) (1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp (\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z (\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એવી ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| < 1$ માટે,$\ln(1 + x) = x$ એ $x$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?

એક ન્યુક્લિયર પ્રયોગશાળામાં અકસ્માતને કારણે $18$ દિવસના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા કિરણોત્સર્ગી પદાર્થનો અમુક જથ્થો પ્રયોગશાળામાં જમા થયો. પરીક્ષણોમાં જાણવા મળ્યું કે રેડિયેશનનું સ્તર પ્રયોગશાળાના સુરક્ષિત સંચાલન માટે જરૂરી સ્તર કરતા $64$ ગણું વધારે હતું. કેટલા દિવસો પછી પ્રયોગશાળાને ઉપયોગ માટે સુરક્ષિત ગણી શકાય?