એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $4 \text{ days}$ માં તેના મૂળ મૂલ્યના $(1/4)$ ભાગની થઈ જાય છે. તો $16 \text{ days}$ માં તેની એક્ટિવિટી મૂળ મૂલ્યના $x$ ગણી થશે. $x$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક પદાર્થનું અર્ધ-આયુષ્ય $10$ વર્ષ છે. કેટલા સમયમાં તે તેની પ્રારંભિક માત્રાના $\frac{1}{4}$ ભાગનું થઈ જશે?

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp(\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એ ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| \ll 1$ માટે,$\ln(1+x) \approx x$ એ $x$ ની પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?

જો એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ દર $16 \text{ કલાક}$ માં $10 \%$ ક્ષય પામે છે, તો $2 \text{ દિવસ}$ પછી બાકી રહેલા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની ટકાવારી કેટલી હશે?

જો કોઈ રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થને $88 \%$ થી $77 \%$ સુધી ક્ષય થવા માટે લાગતો સમય $12 \text{ મિનિટ}$ હોય,તો તે પદાર્થનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય (મિનિટમાં) કેટલો હશે?

$138.6 \text{ દિવસ}$ ના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થને એક બોક્સમાં મૂકવામાં આવે છે। $n$ દિવસ પછી, પદાર્થનો માત્ર $20\%$ ભાગ જ હાજર રહે છે, તો $n$ નું મૂલ્ય $[\ln(5) = 1.61]$ શોધો।