એક $A.P.$ ના $m$ અને $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $m^{2}: n^{2}$ છે. સાબિત કરો કે $m$ માં અને $n$ માં પદનો ગુણોત્તર $(2m-1):(2n-1)$ છે.

(N/A) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $m$ પદોના સરવાળા અને $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{m^2}{n^2}$ છે.
$\frac{\frac{m}{2}[2a + (m-1)d]}{\frac{n}{2}[2a + (n-1)d]} = \frac{m^2}{n^2}$
$\frac{2a + (m-1)d}{2a + (n-1)d} = \frac{m}{n}$
આપણે $m$ માં પદ અને $n$ માં પદનો ગુણોત્તર શોધવો છે,જે $\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d}$ છે.
આ સ્વરૂપ મેળવવા માટે,સમીકરણની ડાબી બાજુના અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{a + \frac{(m-1)}{2}d}{a + \frac{(n-1)}{2}d} = \frac{m}{n}$
પદોની સરખામણી કરતા,આપણે ગુણોત્તર $\frac{2a+(m-1)d}{2a+(n-1)d} = \frac{m}{n}$ માં $m$ ની જગ્યાએ $(2m-1)$ અને $n$ ની જગ્યાએ $(2n-1)$ મૂકતા:
$\frac{2a + (2m-1-1)d}{2a + (2n-1-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2a + (2m-2)d}{2a + (2n-2)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{2[a + (m-1)d]}{2[a + (n-1)d]} = \frac{2m-1}{2n-1}$
$\frac{a + (m-1)d}{a + (n-1)d} = \frac{2m-1}{2n-1}$
આમ,$m$ માં પદ અને $n$ માં પદનો ગુણોત્તર $(2m-1):(2n-1)$ સાબિત થાય છે.