नीचे दी गई आकृति में छायांकित क्षेत्र असमिकाओं के निकाय का हल समुच्चय है। इस असमिका निकाय द्वारा दिए गए रैखिक प्रतिबंधों के अधीन उद्देश्य फलन $Z = 3x + 5y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

एक फैक्ट्री दो प्रकार के स्क्रू, $A$ और $B$ बनाती है। प्रत्येक प्रकार के स्क्रू के लिए दो मशीनों का उपयोग आवश्यक है, एक स्वचालित और एक हाथ से चलने वाली। स्क्रू $A$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $4 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ लगते हैं, जबकि स्क्रू $B$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $3 \, \text{मिनट}$ लगते हैं। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन अधिकतम $4 \, \text{घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। निर्माता स्क्रू $A$ के एक पैकेट पर $Rs. \, 7$ और स्क्रू $B$ के पैकेट पर $Rs. \, 10$ का लाभ कमा सकता है। यह मानते हुए कि वह अपने द्वारा बनाए गए सभी स्क्रू बेच सकता है, फैक्ट्री मालिक को अपना लाभ अधिकतम करने के लिए एक दिन में प्रत्येक प्रकार के कितने पैकेट बनाने चाहिए? अधिकतम लाभ निर्धारित करें।

दी गई आकृति का छायांकित भाग सुसंगत क्षेत्र (feasible region) को दर्शाता है। तो इसके अवरोध (constraints) क्या हैं?

एक बीमार व्यक्ति के आहार में कम से कम $4000$ इकाई विटामिन,$50$ इकाई प्रोटीन और $1400$ कैलोरी होनी चाहिए। दो खाद्य पदार्थ $A$ और $B$ क्रमशः ₹ $4$ और ₹ $3$ प्रति इकाई की लागत पर उपलब्ध हैं। यदि $A$ की एक इकाई में $200$ इकाई विटामिन,$1$ इकाई प्रोटीन और $40$ कैलोरी होती है,जबकि खाद्य $B$ की एक इकाई में $100$ इकाई विटामिन,$2$ इकाई प्रोटीन और $40$ कैलोरी होती है,तो समस्या को इस प्रकार तैयार करें कि आहार सबसे सस्ता हो।

$x+y \leq 20, y \geq 5, x \leq 10, x \geq 0, y \geq 0$ अवरोधों के अंतर्गत $z=7x+8y$ का अधिकतम मान है

केक-$A$ के लिए $200\, g$ आटा और $25\, g$ वसा की आवश्यकता होती है। केक-$B$ के लिए $100\, g$ आटा और $50\, g$ वसा की आवश्यकता होती है। $5\, kg$ आटा और $1\, kg$ वसा से बनाए जा सकने वाले केक की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए। इस $LPP$ का गणितीय रूप $.....$ है।