ઉપવલય $x^2+4y^2=64$ માં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની બાજુઓ છે:

રેખા $y=x+\lambda$ એ ઉપવલય $2x^{2}+3y^{2}=1$ ને સ્પર્શક છે. તો, $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ પરના કોઈપણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક $X$-અક્ષને $Q$ માં છેદે છે. ધારો કે $R$ એ $y=x$ ની સાપેક્ષે $Q$ નું પ્રતિબિંબ છે. જો $S$ એ $QR$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતું વર્તુળ હોય,તો તે નિશ્ચિત બિંદુ કયું છે જેમાંથી વર્તુળ $S$ પસાર થાય છે?

જો ઉપવલયની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ તેના નાભિઓ વચ્ચેના અંતરના અડધા જેટલી હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

એવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $20$ છે અને નાભિઓ $(0, \pm 5)$ છે.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$, જ્યાં $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$, આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $T$ માં અને $y$-અક્ષને $T_1$ માં છેદે છે. તો $\min_{0 < \theta < \frac{\pi}{2}} (OT)(OT_1)$ ની કિંમત શોધો.