बिंदु (2, 1) से गुजरने वाले एक वक्र के लिए (x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.

Vedclass · Accepted Answer

$2(x^2 - y^2) = 3x$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{2xy}$.यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x^2 + v^2x^2}{2vx^2} = \frac{1 + v^2}{2v}$.$x\frac{dv}{dx} = \frac{1 + v^2}{2v} - v = \frac{1 + v^2 - 2v^2}{2v} = \frac{1 - v^2}{2v}$.चरों को अलग करने पर: $\frac{2v}{1 - v^2} dv = \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\ln|1 - v^2| = \ln|x| + \ln|c|$.$-\ln|1 - \frac{y^2}{x^2}| = \ln|xc| \implies \ln|\frac{x^2}{x^2 - y^2}| = \ln|xc|$.$\frac{x^2}{x^2 - y^2} = xc \implies x = c(x^2 - y^2)$.चूंकि वक्र $(2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $2 = c(2^2 - 1^2) = c(3) \implies c = \frac{2}{3}$.अतः,$x = \frac{2}{3}(x^2 - y^2)$,जिसे सरल करने पर $3x = 2(x^2 - y^2)$ प्राप्त होता है।

बिंदु $(2, 1)$ से गुजरने वाले एक वक्र के लिए $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{x^2 + y^2}{2xy}$ है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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