मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}=fra | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y(4y^2+2x^2)}{x(3y^2+x^2)}$ है।$y=vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्

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$3$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y(4y^2+2x^2)}{x(3y^2+x^2)}$ है।$y=vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।समीकरण में मान रखने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v(4v^2+2)}{3v^2+1}$.$x\frac{dv}{dx} = \frac{4v^3+2v-3v^3-v}{3v^2+1} = \frac{v^3+v}{3v^2+1}$.चरों को अलग करने पर: $\int \frac{3v^2+1}{v^3+v} dv = \int \frac{dx}{x}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|v^3+v| = \ln|x| + C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर: $\ln|\frac{y^3}{x^3} + \frac{y}{x}| = \ln|x| + C$.$y(1)=1$ का उपयोग करने पर: $\ln|1+1| = \ln(1) + C \Rightarrow C = \ln 2$.अतः,$\ln|\frac{y^3+yx^2}{x^3}| = \ln(2x)$.$x=2$ के लिए: $\frac{y^3+4y}{8} = 4 \Rightarrow y^3+4y = 32$.मान लीजिए $f(y) = y^3+4y-32$. चूँकि $f(2) = -16$ और $f(3) = 7$,अतः $y(2)$ का मान $2$ और $3$ के बीच है।इस प्रकार,$y(2) \in [2, 3)$,इसलिए $n=3$।

मान लीजिए $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}=\frac{4y^3+2yx^2}{3xy^2+x^3}$ का हल है,जहाँ $y(1)=1$ है। यदि किसी $n \in N$ के लिए $y(2) \in [n-1, n)$ है,तो $n$ का मान $\dots\dots$ है।

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