अवकल समीकरण (x^2 + y^2) dy = xy dx के लिए, यह | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ है, जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण

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$\pm \sqrt{3}e$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ है, जिसे $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$, तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$।$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$।चरों को पृथक करने पर: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x} \implies -\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$।चूंकि $y = vx$, $v = y/x$, इसलिए $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$।दिया है $y(1) = 1$, तो $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -1/2$।समीकरण $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -1/2$ है।दिया है $y(x_0) = e$, तो $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -1/2 \implies -\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -1/2$।$-\frac{x_0^2}{2e^2} = -3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$।

अवकल समीकरण $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ के लिए, यह दिया गया है कि $y(1) = 1$ और $y(x_0) = e$ है, तो $x_0$ का मान ज्ञात कीजिए।

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