વિકલ સમીકરણ (x^2 + y^2) dy = xy dx માટે, આપેલ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ છે, જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = v

Vedclass · Accepted Answer

$\pm \sqrt{3}e$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ છે, જેને $\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ તરીકે લખી શકાય.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$, તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{x(vx)}{x^2 + (vx)^2} = \frac{vx^2}{x^2(1 + v^2)} = \frac{v}{1 + v^2}$.$x \frac{dv}{dx} = \frac{v}{1 + v^2} - v = \frac{v - v - v^3}{1 + v^2} = -\frac{v^3}{1 + v^2}$.ચલ અલગ કરતા: $\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x} \implies -\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.કારણ કે $y = vx$, $v = y/x$, તેથી $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y/x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| - \ln|x| = -\ln|x| + C \implies -\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.આપેલ છે $y(1) = 1$, તેથી $-\frac{1^2}{2(1)^2} + \ln(1) = C \implies C = -1/2$.સમીકરણ $-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -1/2$ છે.આપેલ છે $y(x_0) = e$, તેથી $-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -1/2 \implies -\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -1/2$.$-\frac{x_0^2}{2e^2} = -3/2 \implies x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \pm \sqrt{3}e$.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2) dy = xy dx$ માટે, આપેલ છે કે $y(1) = 1$ અને $y(x_0) = e$, તો $x_0$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}=\tan \left(\frac{y}{x}\right)+\frac{y}{x}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

$x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left( \frac{y}{x} \right)$ નો વ્યાપક ઉકેલ . . . . . . છે.

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે):

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module