अवकल समीकरण x frac{dy}{dx} = y(log y - log x | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\fra

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$y = x e^{cx}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ है।$x$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.यह एक समघातीय (homogeneous) अवकल समीकरण है।माना $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $y = vx$ और $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$।$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$।$x \frac{dv}{dx} = v \log v$।चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$।माना $u = \log v$,तो $du = \frac{1}{v} dv$। समाकलन करने पर $\int \frac{du}{u} = \log x + C$।$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $\log v = cx$।चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $\log(\frac{y}{x}) = cx$।अतः,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,जिसका अर्थ है $y = x e^{cx}$।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ का हल है

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