વિકલ સમીકરણ x frac{dy}{dx} = y(log y - log x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ છે.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.આ એક

Vedclass · Accepted Answer

$y = x e^{cx}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ છે.$x$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} (\log(\frac{y}{x}) + 1)$.આ એક સમપરિમાણીય (homogeneous) વિકલ સમીકરણ છે.ધારો કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $y = vx$ અને $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v(\log v + 1)$.$v + x \frac{dv}{dx} = v \log v + v$.$x \frac{dv}{dx} = v \log v$.ચલને અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \log v} = \frac{dx}{x}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \log v} = \int \frac{dx}{x}$.ધારો કે $u = \log v$,તો $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન કરતા $\int \frac{du}{u} = \log x + C$.$\log(\log v) = \log x + \log c = \log(cx)$.બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $\log v = cx$.કારણ કે $v = \frac{y}{x}$,તેથી $\log(\frac{y}{x}) = cx$.આમ,$\frac{y}{x} = e^{cx}$,જેનો અર્થ છે કે $y = x e^{cx}$.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y(\log y - \log x + 1)$ નો ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

$\frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2}$ નો ઉકેલ શોધો.

આપેલ શરતનું પાલન કરતો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો:
$x^{2} dy + (xy + y^{2}) dx = 0$; $y = 1$ જ્યારે $x = 1$.

વિકલ સમીકરણ $(x+y) dy + (x-y) dx = 0$ નો $x=1, y=1$ આગળનો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x + y\frac{dy}{dx} = 2y$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $t^2 dx + (x^2 - tx + t^2) dt = 0$ ને ચલ વિભાજ્ય પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવા વિકલ સમીકરણમાં ઘટાડવા માટે જરૂરી આદેશ છે

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module