अवकल समीकरण (3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0 का | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy+y^2}{x^2+xy}$ प्राप्त होता है। यह

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$x^2(2xy+y^2)=c$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{3xy+y^2}{x^2+xy}$ प्राप्त होता है। यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$। इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v x^2 + v^2 x^2}{x^2 + vx^2} = -\frac{3v+v^2}{1+v}$। $x\frac{dv}{dx} = -\frac{3v+v^2}{1+v} - v = -\frac{3v+v^2+v+v^2}{1+v} = -\frac{2v^2+4v}{1+v}$। चरों को अलग करने पर: $\int \frac{1+v}{2v^2+4v} dv = -\int \frac{1}{x} dx$। दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $\int \frac{1+v}{v^2+2v} dv = -2\int \frac{1}{x} dx$। मान लीजिए $u = v^2+2v$,तो $du = (2v+2) dv = 2(v+1) dv$। अतः,$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = -2\ln|x| + C'$। $\frac{1}{2} \ln|v^2+2v| = -2\ln|x| + C'$। $\ln|v^2+2v| = -4\ln|x| + C''$। $\ln|v^2+2v| + \ln|x^4| = C''$। $\ln|x^4(v^2+2v)| = C''$। $x^4(\frac{y^2}{x^2} + \frac{2y}{x}) = c$। $x^2(y^2+2xy) = c$।

अवकल समीकरण $(3xy+y^2) dx + (x^2+xy) dy = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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