अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = frac{x + y}{x} का | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x

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$y = x \ln x + x$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$।इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$v + x \frac{dv}{dx} = 1 + v$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर,$x \frac{dv}{dx} = 1$ प्राप्त होता है।चरों को पृथक करने पर,$dv = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$v = \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।चूंकि $y = vx$,इसलिए $\frac{y}{x} = \ln|x| + C$,जिसका अर्थ है $y = x \ln|x| + Cx$।प्रतिबंध $y(1) = 1$ का उपयोग करते हुए,$x = 1$ और $y = 1$ रखने पर:$1 = 1 \cdot \ln(1) + C(1) \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$।अतः,अभीष्ट हल $y = x \ln x + x$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}$ का हल ज्ञात कीजिए जो प्रतिबंध $y(1) = 1$ को संतुष्ट करता है।

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