વિકલ સમીકરણ y frac{dx}{dy} = x(log_e x - log_ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.$y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.ધારો કે $v = \fra

Vedclass · Accepted Answer

$|\log_e \frac{x}{y}| = y$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $y \frac{dx}{dy} = x(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.$y$ વડે ભાગતા: $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{y}(\ln(\frac{x}{y}) + 1)$.ધારો કે $v = \frac{x}{y}$,તેથી $x = vy$. $y$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $v + y \frac{dv}{dy} = v(\ln v + 1) = v \ln v + v$.$y \frac{dv}{dy} = v \ln v$.ચલ અલગ કરતા: $\frac{dv}{v \ln v} = \frac{dy}{y}$.બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dv}{v \ln v} = \int \frac{dy}{y}$.ધારો કે $u = \ln v$,તેથી $du = \frac{1}{v} dv$. સંકલન થશે: $\int \frac{du}{u} = \int \frac{dy}{y}$.$\ln|u| = \ln|y| + C \Rightarrow \ln|\ln v| = \ln y + C$.$v = \frac{x}{y}$ મૂકતા: $\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y + C$.બિંદુ $(e, 1)$ માંથી પસાર થતા: $\ln|\ln(\frac{e}{1})| = \ln(1) + C \Rightarrow \ln(1) = 0 + C \Rightarrow C = 0$.આમ,$\ln|\ln(\frac{x}{y})| = \ln y$.બંને બાજુ ઘાતાંક લેતા: $|\ln(\frac{x}{y})| = y$.

વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = x(\log_e x - \log_e y + 1)$,$x > 0, y > 0$ નો ઉકેલ વક્ર જે બિંદુ $(e, 1)$ માંથી પસાર થાય છે તે શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x dy - y dx = \sqrt{x^2+y^2} dx$ નો ઉકેલ શોધો, જ્યાં $x=\sqrt{3}$ હોય ત્યારે $y=1$ છે.

કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે તે ઓળખો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module